1. Definiția radicalului de ordin n n n Înainte de a aplica proprietățile radicalilor, pornim de la definiție și distingem cele două situații: ordin par și ordin impar.
Fie n ∈ N n\in\mathbb N n ∈ N n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 n n n ordinul radicalului , iar a a a radicandul .
Ordin par Pentru n = 2 , 4 , 6 , … n=2,4,6,\ldots n = 2 , 4 , 6 , … a a a radicand , trebuie să fie nenegativ.
81 4 = 3 \sqrt[4]{81}=3 4 81 = 3 Ordin impar Pentru n = 3 , 5 , 7 , … n=3,5,7,\ldots n = 3 , 5 , 7 , …
− 125 3 = − 5 \sqrt[3]{-125}=-5 3 − 125 = − 5 ✓
De reținut În cazul unui ordin par, radicalul aritmetic este, prin definiție, nenegativ. De aceea, 81 4 = 3 , \sqrt[4]{81}=3, 4 81 = 3 , ± 3 \pm3 ± 3
2. Radicalul unei puteri — relația esențială În acest punct apare valoarea absolută. Prezența ei este determinată de definiția radicalului de ordin par.
1
Pentru
x = − 3 x=-3 x = − 3 , avem
( − 3 ) 4 = 81 (-3)^4=81 ( − 3 ) 4 = 81 .
2
Prin urmare,
( − 3 ) 4 4 = 81 4 = 3. \sqrt[4]{(-3)^4}=\sqrt[4]{81}=3. 4 ( − 3 ) 4 = 4 81 = 3. 3
Rezultatul este
3 = ∣ − 3 ∣ 3=|-3| 3 = ∣ − 3∣ , deoarece radicalul de ordin par este nenegativ.
!
Atenție Egalitatea x 4 4 = x \sqrt[4]{x^4}=x 4 x 4 = x x ≥ 0 x\ge 0 x ≥ 0 x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R x 4 4 = ∣ x ∣ . \sqrt[4]{x^4}=|x|. 4 x 4 = ∣ x ∣.
3. Proprietăți fundamentale ale radicalilor Proprietățile de mai jos se aplică numai în condițiile în care toate expresiile implicate sunt definite în R \mathbb R R
Produs a n ⋅ b n = a b n \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab} n a ⋅ n b = n ab Cât a n b n = a b n , b ≠ 0 \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}},\qquad b\ne0 n b n a = n b a , b = 0 Radical din radical a n m = a m n , a ≥ 0 \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a},\qquad a\ge0 m n a = mn a , a ≥ 0 Putere cu exponent rațional a m n = a m n , a > 0 , m ∈ Z \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}},\qquad a>0,\;m\in\mathbb Z n a m = a n m , a > 0 , m ∈ Z 4. Exemple rezolvate Fiecare exemplu urmărește o idee precisă și arată modul în care alegem transformarea potrivită.
Scoaterea factorilor de sub radical 1
Identificăm în descompunerea lui
54 54 54 un factor care este cub perfect:
54 = 27 ⋅ 2. 54=27\cdot2. 54 = 27 ⋅ 2. 2
Atunci
54 3 = 27 ⋅ 2 3 = 3 2 3 . \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]{2}. 3 54 = 3 27 ⋅ 2 = 3 3 2 . Exemplu cu variabilă 1
Pentru
x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R , scriem
48 x 4 4 = 16 ⋅ 3 ⋅ x 4 4 . \sqrt[4]{48x^4}=\sqrt[4]{16\cdot3\cdot x^4}. 4 48 x 4 = 4 16 ⋅ 3 ⋅ x 4 . 2
Folosind
x 4 4 = ∣ x ∣ \sqrt[4]{x^4}=|x| 4 x 4 = ∣ x ∣ , obținem
48 x 4 4 = 2 ∣ x ∣ 3 4 . \sqrt[4]{48x^4}=2|x|\sqrt[4]{3}. 4 48 x 4 = 2∣ x ∣ 4 3 . Raționalizarea numitorului 1
Înmulțim numărătorul și numitorul cu
2 3 \sqrt[3]{2} 3 2 , deoarece
4 3 ⋅ 2 3 = 2. \sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}=2. 3 4 ⋅ 3 2 = 2. 2
5 4 3 ⋅ 2 3 2 3 = 5 2 3 2 . \frac5{\sqrt[3]{4}}\cdot\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}=\frac{5\sqrt[3]{2}}2. 3 4 5 ⋅ 3 2 3 2 = 2 5 3 2 . 5. Erori frecvente și cum le evităm Înțelegerea este mai sigură atunci când elevul recunoaște atât transformările corecte, cât și erorile tipice.
×
Radicalul nu este distributiv față de adunare În general, a + b n ≠ a n + b n . \sqrt[n]{a+b}\ne \sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}. n a + b = n a + n b .
×
La simplificarea radicalului unei puteri de ordin par apare valoarea absolută x 2 k 2 k = ∣ x ∣ . \sqrt[2k]{x^{2k}}=|x|. 2 k x 2 k = ∣ x ∣.
×
Ordinul radicalului contează Expresia − 64 6 \sqrt[6]{-64} 6 − 64 R \mathbb R R − 32 5 = − 2. \sqrt[5]{-32}=-2. 5 − 32 = − 2.
6. Test de verificare — 3 niveluri Exercițiile sunt ordonate progresiv. Răspunsurile sunt afișate doar la cerere, pentru ca rezolvarea să fie încercată înainte de verificare.
Urmărește atât corectitudinea rezultatelor, cât și alegerea metodei de rezolvare.
Nivelul I — Noțiuni fundamentale Definiție, ordin par/impar și simplificări elementare.
7 exerciții 1. Calculează: A = − 216 3 + 81 4 − 32 5 . A=\sqrt[3]{-216}+\sqrt[4]{81}-\sqrt[5]{32}. A = 3 − 216 + 4 81 − 5 32 . Vezi răspunsul 2. Simplifică: B = 54 3 + 2 16 3 − 250 3 . B=\sqrt[3]{54}+2\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{250}. B = 3 54 + 2 3 16 − 3 250 . Vezi răspunsul B = 2 2 3 B=2\sqrt[3]{2} B = 2 3 2 3. Pentru x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R C = 48 x 4 4 . C=\sqrt[4]{48x^4}. C = 4 48 x 4 . Vezi răspunsul C = 2 ∣ x ∣ 3 4 C=2|x|\sqrt[4]{3} C = 2∣ x ∣ 4 3 4. Introdu factorul sub semnul radicalului și scrie expresia sub forma unui singur radical: 3 2 3 . 3\sqrt[3]{2}. 3 3 2 . Vezi răspunsul 3 2 3 = 54 3 3\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{54} 3 3 2 = 3 54 5. Calculează: D = 12 5 ⋅ 8 5 3 5 . D=\frac{\sqrt[5]{12}\cdot\sqrt[5]{8}}{\sqrt[5]{3}}. D = 5 3 5 12 ⋅ 5 8 . Vezi răspunsul 6. Compară cele două numere, fără a folosi aproximații zecimale: 4 3 și 8 5 . \sqrt[3]{4}\quad\text{și}\quad\sqrt[5]{8}. 3 4 ș i 5 8 . Vezi răspunsul 4 3 > 8 5 \sqrt[3]{4}>\sqrt[5]{8} 3 4 > 5 8 7. Stabilește care expresii sunt definite în R \mathbb R R − 16 4 , − 32 5 , 64 6 , − 125 3 . \sqrt[4]{-16},\quad \sqrt[5]{-32},\quad \sqrt[6]{64},\quad \sqrt[3]{-125}. 4 − 16 , 5 − 32 , 6 64 , 3 − 125 . Vezi răspunsul Prima expresie nu este definită în
R \mathbb R R ; celelalte au valorile
− 2 -2 − 2 ,
2 2 2 , respectiv
− 5 -5 − 5 .
Nivelul II — Consolidare Valoare absolută, comparare, raționalizare.
7 exerciții 1. Simplifică pentru a , b ∈ R a,b\in\mathbb R a , b ∈ R A = 64 a 12 b 6 6 . A=\sqrt[6]{64a^{12}b^6}. A = 6 64 a 12 b 6 . Vezi răspunsul A = 2 a 2 ∣ b ∣ A=2a^2|b| A = 2 a 2 ∣ b ∣ 2. Redu la forma cea mai simplă: B = 2 3 4 − 48 4 + 3 243 4 . B=2\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{48}+3\sqrt[4]{243}. B = 2 4 3 − 4 48 + 3 4 243 . Vezi răspunsul B = 9 3 4 B=9\sqrt[4]{3} B = 9 4 3 3. Raționalizează numitorul: C = 5 4 3 . C=\frac5{\sqrt[3]{4}}. C = 3 4 5 . Vezi răspunsul C = 5 2 3 2 C=\frac{5\sqrt[3]{2}}2 C = 2 5 3 2 4. Raționalizează numitorul și simplifică: D = 1 2 3 − 1 . D=\frac1{\sqrt[3]{2}-1}. D = 3 2 − 1 1 . Vezi răspunsul D = 1 + 2 3 + 4 3 D=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4} D = 1 + 3 2 + 3 4 5. Calculează: E = 8 6 ⋅ 4 4 . E=\sqrt[6]{8}\cdot\sqrt[4]{4}. E = 6 8 ⋅ 4 4 . Vezi răspunsul 6. Ordonează crescător numerele, fără a folosi aproximații zecimale: α = 2 3 , β = 3 4 , γ = 8 6 . \alpha=\sqrt[3]{2},\quad\beta=\sqrt[4]{3},\quad\gamma=\sqrt[6]{8}. α = 3 2 , β = 4 3 , γ = 6 8 . Vezi răspunsul α < β < γ \alpha<\beta<\gamma α < β < γ 7. Identifică și corectează eroarea: ( x − 2 ) 4 4 = x − 2. \sqrt[4]{(x-2)^4}=x-2. 4 ( x − 2 ) 4 = x − 2. Vezi răspunsul Forma corectă este
( x − 2 ) 4 4 = ∣ x − 2 ∣ , \sqrt[4]{(x-2)^4}=|x-2|, 4 ( x − 2 ) 4 = ∣ x − 2∣ , iar egalitatea elevului este valabilă pentru
x ≥ 2 x\ge2 x ≥ 2 .
Nivelul III — Aprofundare Alegerea strategiei, substituții, identități algebrice și demonstrație.
7 exerciții 1. Simplifică: A = 64 ( 2 − 3 ) 6 6 + ( 3 − 2 ) 3 3 . A=\sqrt[6]{64(2-\sqrt3)^6}+\sqrt[3]{(\sqrt3-2)^3}. A = 6 64 ( 2 − 3 ) 6 + 3 ( 3 − 2 ) 3 . Vezi răspunsul 2. Calculează exact: B = 20 + 14 2 3 . B=\sqrt[3]{20+14\sqrt2}. B = 3 20 + 14 2 . Vezi răspunsul 3. Simplifică: C = 1 2 3 − 1 − 1 1 + 2 3 + 4 3 . C=\frac1{\sqrt[3]{2}-1}-\frac1{1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}. C = 3 2 − 1 1 − 1 + 3 2 + 3 4 1 . Vezi răspunsul C = 2 + 4 3 C=2+\sqrt[3]{4} C = 2 + 3 4 4. Pentru x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R F ( x ) = ( x − 3 ) 4 4 + ( x − 3 ) 3 3 . F(x)=\sqrt[4]{(x-3)^4}+\sqrt[3]{(x-3)^3}. F ( x ) = 4 ( x − 3 ) 4 + 3 ( x − 3 ) 3 . Vezi răspunsul F ( x ) = { 0 , x < 3 2 x − 6 , x ≥ 3 F(x)=\begin{cases}0,&x<3\\2x-6,&x\ge3\end{cases} F ( x ) = { 0 , 2 x − 6 , x < 3 x ≥ 3 5. Simplifică: P = 4 3 − 1 2 3 − 1 . P=\frac{\sqrt[3]{4}-1}{\sqrt[3]{2}-1}. P = 3 2 − 1 3 4 − 1 . Vezi răspunsul P = 1 + 2 3 P=1+\sqrt[3]{2} P = 1 + 3 2 6. Rezolvă în ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) ( 0 , + ∞ ) x 3 + 1 x 3 = 5 2 . \sqrt[3]{x}+\frac1{\sqrt[3]{x}}=\frac52. 3 x + 3 x 1 = 2 5 . Vezi răspunsul x ∈ { 1 8 , 8 } x\in\left\{\frac18,8\right\} x ∈ { 8 1 , 8 } 7. Demonstrează: a + b n < a n + b n , a , b > 0. \sqrt[n]{a+b}<\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b},\qquad a,b>0. n a + b < n a + n b , a , b > 0. Vezi răspunsul Notează
x = a n x=\sqrt[n]{a} x = n a ,
y = b n y=\sqrt[n]{b} y = n b și aplică formula binomială a lui Newton pentru
( x + y ) n (x+y)^n ( x + y ) n .
7. Cum interpretezi rezultatul? Interpretarea rezultatului trebuie să țină seama atât de numărul exercițiilor rezolvate corect, cât și de tipul erorilor.
Nivelul I 6–7 exerciții corecte: noțiunile de bază sunt bine însușite. Sub 5: este necesară reluarea definiției, a cazurilor par/impar și a proprietăților fundamentale.
Nivelul II 5–7 exerciții corecte: proprietățile sunt bine consolidate. Dacă apar erori legate de valoarea absolută, trebuie revizuită simplificarea radicalilor de ordin par.
Nivelul III 4–7 exerciții corecte, însoțite de justificări: elevul poate selecta și aplica în mod adecvat strategia de rezolvare.
